Python Introduction au calcul numérique

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[koo_icon name=”undefined” color=”” size=””] Ce livre s’adresse principalement aux lycéens qui auront choisi l’option Mathématiques, aux étudiants de BTS et d’IUT ou aux enseignants de mathématiques par exemple qui souhaitent s’initier au calcul numérique avec les méthodes mathématiques permettant de concevoir et utiliser un programme Python.

Après une introduction aux nombres, opérations et fonctions disponibles en Python, le lecteur découvre les suites de nombres réels et les fonctions exponentielles et logarithmiques. Dans les chapitres qui suivent, il pourra ensuite réaliser en Python des calculs numériques dans différents domaines des mathématiques comme la résolution des équations, le calcul différentiel et le calcul intégral, le calcul des probabilités, les calculs statistiques ou encore le calcul matriciel.

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Table des matières

  • Nombres, opérations et fonctions dans Python
    • 1. Nombres et opérations
      • 1.1 Entiers et décimaux
      • 1.2 Les variables numériques
      • 1.3 L’opérateur d’affectation =
      • 1.4 Les opérations disponibles dans Python
      • 1.5 Les expressions numériques
      • 1.6 Les opérateurs de comparaison
      • 1.7 Le module « fractions »
      • 1.8 Deux autres instructions du module « fractions »
    • 2. Représentation des nombres
      • 2.1 Historique
      • 2.2 La représentation binaire des entiers naturels
      • 2.3 La représentation binaire des entiers relatifs
      • 2.4 Les nombres dyadiques
      • 2.5 La représentation des nombres à virgule à l’aide des « flottants »
      • 2.6 La précision des calculs
    • 3. Fonctions disponibles dans Python
      • 3.1 Les fonctions usuelles
      • 3.2 Les fonctions numériques du module « math »
      • 3.3 Comment définir ses propres fonctions ?
      • 3.4 Définir une fonction par une suite d’actions
      • 3.5 Le mot réservé « lambda »
    • 4. La récursivité des fonctions
      • 4.1 Les factorielles
      • 4.2 Une application de la récursivité : les tours de Hanoï
  • Suites de nombres réels
    • 1. Suites et racines carrées
      • 1.1 La méthode d’Archytas de Tarente
      • 1.2 La méthode de Héron d’Alexandrie
      • 1.3 Le calcul d’une racine cubique
    • 2. Comment définir une suite ?
      • 2.1 Définition
      • 2.2 Suites définies par u n =f(n)
      • 2.3 Suites récurrentes
    • 3. Quand n devient de plus en plus grand
      • 3.1 Une suite peut être convergente
      • 3.2 Une suite peut ne pas avoir de limite
    • 4. Une suite célèbre : la suite de Fibonacci
      • 4.1 Historique
      • 4.2 Le problème des lapins
      • 4.3 L’étude du rapport de deux termes successifs de la suite
      • 4.4 L’étude du nombre | rn- f |
      • 4.5 La formule de Binet
    • 5. Suites définies par des sommes
      • 5.1 Historique
      • 5.2 La somme des carrés et des cubes des entiers naturels de 1 à n
      • 5.3 Les séries géométriques
      • 5.4 La série de Swineshead
      • 5.5 La série harmonique et la série harmonique alternée
      • 5.6 Le problème de Bâle
      • 5.7 Le nombre e
  • Fonction exponentielle et fonctions logarithmes
    • 1. La fonction exponentielle
      • 1.1 Historique
      • 1.2 Définition de la fonction exponentielle par Euler
      • 1.3 Dérivée de la fonction x ? exp(x)
      • 1.4 Autre définition de exp( x )
      • 1.5 Instructions exp( x ) et e** x
      • 1.6 Représentation graphique de la fonction exponentielle x ? exp( x )
    • 2. Les logarithmes décimaux
      • 2.1 Historique
      • 2.2 Logarithme décimal d’un nombre strictement positif
      • 2.3 Fonction logarithme décimal dans Python
      • 2.4 Représentation graphique de la fonction logarithme décimal
    • 3. L’algorithme de Briggs
      • 3.1 Historique
      • 3.2 Un programme Python
    • 4. Les logarithmes népériens
      • 4.1 Historique
      • 4.2 Définition et calcul de ln( x ) pour x = 0
      • 4.3 Programme pour calculer un encadrement de ln( x )
      • 4.4 Fonction logarithme népérien dans Python
  • Dérivation numérique et équations différentielles
    • 1. Dérivée d’une fonction numérique
      • 1.1 Historique
      • 1.2 Dérivées à droite et dérivées à gauche
      • 1.3 Calculs approchés de f ‘d(x) et de f ‘g(x)
      • 1.4 Calcul approché de f ‘(x) à l’aide de f’g(x0) et de f’d(x0)
    • 2. Calcul approché de f ‘( x ) et de f ”( x )
      • 2.1 Administration par un polynôme
      • 2.2 Calcul d’une valeur approchée de f ‘( x )
      • 2.3 Application à la fonction exponentielle
      • 2.4 Approximation de f(x) au voisinage de x0
      • 2.5 Calcul approché de f ”(x)
    • 3. Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
      • 3.1 Historique
      • 3.2 Les équations du type y’=f(x)
      • 3.3 Les équations du type y’=ay
      • 3.4 Les équations du type y’=ay+b
      • 3.5 Les équations linéaires du type ay’+by=z
      • 3.6 La notation différentielle de Leibniz
    • 4. La méthode d’Euler
      • 4.1 Principe de la méthode d’Euler
      • 4.2 Un programme pour calculer y(x)
      • 4.3 Influence du choix de n sur la précision des résultats
      • 4.4 Construction d’une fonction Euler( x 0 ,y0,x,n )
      • 4.5 Un cas particulier : l’équation différentielle y’=y
    • 5. Les méthodes de Runge-Kutta
      • 5.1 Historique
      • 5.2 Cas d’une équation différentielle du premier ordre
      • 5.3 Cas d’une équation différentielle du second ordre
  • Résolution approchée des équations
    • 1. La recherche d’une solution par dichotomie
      • 1.1 Historique
      • 1.2 Deux programmes
    • 2. La méthode des approximations successives
      • 2.1 Historique
      • 2.2 Étude d’un exemple
      • 2.3 Deux programmes pour calculer r
    • 3. La méthode de Newton
      • 3.1 Historique
      • 3.2 Extension de la méthode
      • 3.3 Représentation graphique de la méthode de Newton
      • 3.4 Deux programmes
  • Calcul infinitésimal et intégration numérique
    • 1. Longueur d’un arc de courbe
      • 1.1 Principe du calcul
      • 1.2 Un programme de calcul
      • 1.3 Application : calcul du nombre p
    • 2. Aire du disque et calcul de p
      • 2.1 Historique
      • 2.2 Méthode d’Archimède
      • 2.3 Avec le calcul infinitésimal
      • 2.4 Calcul de p par la méthode de Monte-Carlo
    • 3. Volume d’une boule
      • 3.1 Principe du calcul
      • 3.2 Le calcul
      • 3.3 Programme de calcul
    • 4. Intégration approchée par la méthode des rectangles
      • 4.1 Historique
      • 4.2 Principe de la méthode des rectangles
      • 4.3 Programme pour calculer l’intégrale d’une fonction continue
      • 4.4 Cas des fonctions monotones
    • 5. Intégration approchée par la méthode des trapèzes
      • 5.1 Rappel
      • 5.2 Principe de la méthode des trapèzes
      • 5.3 Programme pour calculer l’intégrale d’une fonction continue
    • 6. Intégration approchée par la méthode de Simpson
      • 6.1 Historique
      • 6.2 Méthode de Simpson
      • 6.3 Cas d’une intégrale avec une borne infinie
    • 7. Intégration approchée par la méthode de Gauss
      • 7.1 Historique
      • 7.2 Principe de la méthode de Gauss
      • 7.3 Un programme de calcul
      • 7.4 Deux remarques
  • Nombres complexes
    • 1. Les nombres complexes dans Python
      • 1.1 Historique
      • 1.2 Construction moderne des nombres imaginaires
      • 1.3 Nombre complexe i et ses propriétés
      • 1.4 Représentation algébrique d’un nombre complexe
      • 1.5 Opérations sur les complexes dans Python
      • 1.6 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
      • 1.7 Forme exponentielle d’un nombre complexe
    • 2. Résolution dans C des équations du second degré
      • 2.1 Cas d’une équation à coefficients réels
      • 2.2 Cas d’une équation du second degré à coefficients complexes
    • 3. Les suites de nombres complexes
      • 3.1 Suites récurrentes
      • 3.2 Partie réelle et partie imaginaire d’une suite complexe
      • 3.3 Convergence d’une suite
      • 3.4 Une suite géométrique
      • 3.5 Représentation graphique d’une suite
    • 4. Aperçu sur les fonctions d’une variable complexe
      • 4.1 Fonctions nouvellles
      • 4.2 La fonction z ? z+a
      • 4.3 La fonction z ? az avec | a |=1
      • 4.4 La fonction z ? az avec a réel
      • 4.5 Les fonctions homographiques complexes
      • 4.6 Les transformations homographiques du plan complexe
  • Éléments de statistiques
    • 1. Les paramètres d’une série statistique
      • 1.1 Un exemple
      • 1.2 Construction du tableau des effectifs
      • 1.3 Calcul de la médiane
      • 1.4 Calcul des quartiles Q 1 et Q 3 et de l’écart interquartile Q 3 -Q 1
      • 1.5 Calcul de la moyenne
      • 1.6 Calcul de la variance et de l’écart-type
    • 2. Covariance et coefficient de corrélation
      • 2.1 Historique
      • 2.2 Définitions
      • 2.3 Un programme de calcul de cov(x,y) et de r
    • 3. Ajustements linéaires et autres
      • 3.1 Historique
      • 3.2 Ajustement linéaire
      • 3.3 Ajustement par une exponentielle
      • 3.4 Ajustement par une fonction puissance
  • Combinatoire et échantillonnage
    • 1. Factorielles et combinaisons
      • 1.1 Premières recherches
      • 1.2 L’invention des factorielles
      • 1.3 Les combinaisons de n objets pris p à p
      • 1.4 Le calcul du nombre
    • 2. Échantillonnage
      • 2.1 Historique
      • 2.2 Fabrication expérimentale d’un échantillon
      • 2.3 Un calcul direct
    • 3. Échantillonnage et fréquences
      • 3.1 Fluctuations d’échantillonnage
      • 3.2 Intervalle de fluctuation de la fréquence d’un échantillon
      • 3.3 Estimation de la fréquence d’un caractère dans une population
      • 3.4 Quelques remarques
  • Les probabilités
    • 1. Les probabilités conditionnelles
      • 1.1 Une simulation pour conjecturer
      • 1.2 Le calcul confirme la conjecture
      • 1.3 Une formule pour définir une probabilité conditionnelle
      • 1.4 Un exemple
    • 2. La formule de Bayes
      • 2.1 Historique
      • 2.2 La formule de Bayes
      • 2.3 Une première simulation
      • 2.4 Une deuxième simulation
    • 3. L’espérance et l’écart-type d’une variable aléatoire discrète
      • 3.1 Variables aléatoires discrètes
      • 3.2 Variables aléatoires et lois de probabilité
      • 3.3 Espérance mathématique d’une variable aléatoire
      • 3.4 Variance et écart-type d’une variable aléatoire X
      • 3.5 Un programme pour calculer E( X ), V( X ) et ( X )
    • 4. La loi binomiale
      • 4.1 Expériences et schémas de Bernoulli
      • 4.2 Étude d’un exemple
      • 4.3 Une généralisation : la loi binomiale
      • 4.4 Un programme pour calculer P( X=k )
      • 4.5 Un programme pour calculer P( X<=k )
      • 4.6 Espérance et écart-type
    • 5. La loi de Poisson
      • 5.1 Historique
      • 5.2 Expression de la loi de Poisson
      • 5.3 Exemples
      • 5.4 Loi de Poisson et loi binomiale
    • 6. Les variables aléatoires continues
      • 6.1 Historique
      • 6.2 Qu’est-ce qu’une variable aléatoire continue ?
      • 6.3 Comment définir une loi de probabilité continue ?
      • 6.4 Espérance et écart-type d’une variable aléatoire continue
    • 7. La loi exponentielle
      • 7.1 À quoi sert cette loi ?
      • 7.2 Définition
      • 7.3 Espérance et variance d’une loi exponentielle.
      • 7.4 Calcul de la probabilité P( a <X< b )
      • 7.5 Application à la physique
      • 7.6 Usure et vieillissement
    • 8. La loi normale
      • 8.1 Définition
      • 8.2 Loi normale réduite
      • 8.3 Calcul de P( X<a )
      • 8.4 Calcul inverse
      • 8.5 Exemple d’utilisation de la loi normale
    • 9. Loi normale et jugements statistiques
      • 9.1 Intervalle de fluctuation d’une moyenne
      • 9.2 Intervalle de fluctuation d’une fréquence
      • 9.3 Intervalle de confiance d’une moyenne
      • 9.4 Intervalle de confiance d’une fréquence
  • Arithmétique et cryptographie
    • 1. La division euclidienne des entiers
      • 1.1 Deux fonctions de Python
      • 1.2 La division euclidienne des entiers relatifs
    • 2. Les diviseurs d’un entier naturel
      • 2.1 Recherche des diviseurs d’un entier naturel
      • 2.2 Somme des diviseurs propres d’un entier
      • 2.3 Nombres parfaits
      • 2.4 Nombres amicaux
    • 3. Les nombres premiers
      • 3.1 Les nombres premiers sont en nombre infini
      • 3.2 Le crible d’Ératosthène
      • 3.3 Comment savoir si un entier donné est premier ?
      • 3.4 Des listes de nombres premiers
      • 3.5 La conjecture des nombres premiers jumeaux
      • 3.6 La conjecture de Goldbach
    • 4. Le PGCD de deux entiers
      • 4.1 L’algorithme d’Euclide
      • 4.2 La méthode des divisions successives
      • 4.3 La fonction pgcd dans Python
    • 5. Les factorisations d’un entier naturel
      • 5.1 Décomposition en facteurs premiers
      • 5.2 Décomposition en facteurs premiers et recherche d’un PGCD
      • 5.3 Une autre méthode de factorisation
      • 5.4 Méthode de Fermat
    • 6. Le théorème de Bezout
      • 6.1 Historique
      • 6.2 Deux exemples
      • 6.3 Recherche des coefficients de Bezout avec Python
      • 6.4 Conséquence du théorème de Bezout, le théorème de Gauss
    • 7. Introduction aux équations diophantiennes
      • 7.1 Historique
      • 7.2 Un exemple d’équation diophantienne
      • 7.3 Un autre exemple
      • 7.4 Un programme pour résoudre l’équation ax + by = c
      • 7.5 Une équation diophantienne du second degré
    • 8. La congruence des entiers relatifs
      • 8.1 Le terme « modulo »
      • 8.2 Calcul des restes modulo n
      • 8.3 Calculs modulo n et calculs dans l’anneau Z / nZ
      • 8.4 Résolution de l’équation ax + b = c dans l’anneau Z/ n Z
    • 9. Le code secret de Jules César
      • 9.1 Historique
      • 9.2 Les instructions ord() et chr() de Python
      • 9.3 Un programme pour coder un texte
      • 9.4 Un programme pour décoder un texte quand on connaît le décalage
      • 9.5 Décodage avec une analyse des fréquences des lettres
      • 9.6 Un programme de décodage quand on ne connaît pas le décalage employé
    • 10. Le chiffre de Vigenère
      • 10.1 Historique
      • 10.2 Principe du chiffre de Vigenère
      • 10.3 Un programme de chiffrement et de déchiffrement
    • 11. Les codages affines
      • 11.1 Une convention
      • 11.2 Un programme pour coder un texte
      • 11.3 Comment choisir les entiers a et b ?
      • 11.4 Décodage d’un texte codé par une fonction affine avec a et b connus
      • 11.5 Décodage d’un texte codé par une fonction affine avec a et b inconnus
      • 11.6 Un programme général de décodage
    • 12. Le chiffrement de Hill
      • 12.1 Principe du chiffrement
      • 12.2 Un exemple
      • 12.3 Principe du déchiffrement
      • 12.4 Un programme pour coder
      • 12.5 Un programme pour décoder
  • Matrices 2×2 et matrices 3×3
    • 1. Matrices carrées et applications linéaires
      • 1.1 Historique
      • 1.2 Une matrice représente une application linéaire
      • 1.3 Représentation d’une matrice avec Python
      • 1.4 Image d’un vecteur par une matrice carrée 2×2 ou 3×3
    • 2. Opérations sur les matrices
      • 2.1 Addition, soustraction et multiplication par un réel
      • 2.2 Multiplication des matrices carrées de taille 2
      • 2.3 Propriétés particulières de la multiplication des matrices
      • 2.4 Un programme pour multiplier des matrices 2×2
      • 2.5 Un programme pour multiplier des matrices 3×3
      • 2.6 Multiplication de deux matrices de tailles différentes
      • 2.7 Opérations avec des matrices carrées remarquables
    • 3. Déterminant d’une matrice carrée 2×2 ou 3×3
      • 3.1 Déterminant d’une matrice 2×2
      • 3.2 Déterminant d’une matrice 3×3
      • 3.3 Déterminant d’un système de vecteurs
    • 4. Inversion des matrices carrées 2×2 et 3×3
      • 4.1 Qu’est-ce qu’une matrice inversible ?
      • 4.2 Inverse d’une matrice carrée 2×2
      • 4.3 Inverse d’une matrice carrée 3×3
      • 4.4 Méthode du pivot
    • 5. Résolution d’un système linéaire d’équations
      • 5.1 Un exemple historique
      • 5.2 Écriture matricielle des systèmes linéaires d’équations
      • 5.3 Un programme pour résoudre les systèmes de deux équations à deux inconnues
      • 5.4 Un programme pour résoudre les systèmes de trois équations à trois inconnues
      • 5.5 Remarque sur l’emploi des déterminants
    • 6. Puissances d’une matrice 2×2 ou 3×3
      • 6.1 Puissance d’une matrice 2×2
      • 6.2 Puissance d’une matrice 3×3
      • 6.3 Cas des matrices diagonales
    • 7. Diagonalisation d’une matrice 2×2
      • 7.1 Les matrices diagonisables
      • 7.2 Étude d’un exemple
      • 7.3 Diagonalisation d’une matrice 2×2
      • 7.4 Un programme pour calculer les valeurs propres d’une matrice 2×2
    • 8. Matrices et suites récurrentes
      • 8.1 Rappel : les nombres de Fibonacci
      • 8.2 Calcul des nombres de Fibonacci à l’aide d’une matrice 2×2
      • 8.3 Les relations de Binet
  • Géométrie analytique
    • 1. Équation réduite d’une droite dans le plan
      • 1.1 Historique
      • 1.2 Détermination de l’équation réduite d’une droite
      • 1.3 Intersection de deux droites
      • 1.4 Distance d’un point à une droite
    • 2. Équation cartésienne d’une droite dans le plan
      • 2.1 Historique
      • 2.2 Recherche de l’équation cartésienne d’une droite dont on connaît deux points
      • 2.3 Recherche de l’équation cartésienne d’une droite dont on connaît un vecteur directeur et un point
      • 2.4 Intersection de deux droites
      • 2.5 Droites parallèles
      • 2.6 Vecteurs orthogonaux, vecteur normal à une droite
      • 2.7 Droites perpendiculaires
    • 3. Droites dans l’espace
      • 3.1 Vecteurs colinéaires dans l’espace
      • 3.2 Points alignés
      • 3.3 Représentation paramétrique d’une droite
      • 3.4 Comment reconnaître qu’un point appartient à une droite ?
      • 3.5 Droites coplanaires, intersection de deux droites
    • 4. Équations paramétriques d’un plan
      • 4.1 Historique
      • 4.2 Détermination de l’équation paramétrique d’un plan
      • 4.3 Comment reconnaître qu’un point appartient à un plan ?
      • 4.4 Comment reconnaître que quatre points sont coplanaires ?
      • 4.5 Intersection d’un plan et d’une droite
    • 5. Équation cartésienne d’un plan
      • 5.1 Produit scalaire de 2 vecteurs
      • 5.2 Équation d’un plan défini par un de ses points et par un vecteur normal
      • 5.3 Équation d’un plan défini par trois points non alignés
      • 5.4 Intersection d’une droite et d’un plan
      • 5.5 Distance d’un point à un plan
      • 5.6 Intersection de deux plans
  • Annexes
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